求证:对任何整数x和y,下式的值都不会等于33 x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5

原题即：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5；

解：对原式进行分解，得

原式=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-y^2)(x^2-4y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

现在我们假定原式会等于33，即
(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)=33=1×3×11....................................①

讨论：
显然，①式左端5个因式均不为0，且①式左端的5个分解式中，两两不等，也就是5个因式互不相等，否则的话，例如：x+3y=x+y，将推出y=0，而当y=0时，①式变形为：
x^5=33，则x无整数解。
因此，①式左端的5个因式分别代表了5个不同的整数，而①式右端的33只能分解成3个不同的因数：1、3、11，所以①式左右两端不对应，换句话说，也就是：
对任何整数x和y,x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5的值都不会等于33。

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