试求出所有的实数a,使得关于x的方程x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=0有三个整数根

解：将方程整理为：
x^3+ax^2+2ax+2x-ax^2-a^2x-2a^2-2a=0
x(x^2+ax+2a+2)-a(x^2+ax+2a+2)=0
(x-a)(x^2+ax+2a+2)=0
于是立即得到方程的第一个根：x-a=0，即x1=a；
由于题目要求有三个整数根，所以a必定是整数。

现解：x^2+ax+2a+2=0，
要使方程有实数根，其判别式
△=a^2-4(2a+2)
=a^2-8a-8
=(a-4)^2-24≥0，
即(a-4)^2≥24，
由于a为整数，且16=4^2<24<5^2=25，所以上述不等式转换为
(a-4)^2≥25
开方得：a-4≥5、或a-4≤-5，
即：a≥9或a≤-1。
要使方程有整数根，则判别式必须是完全平方数，所以令
△=(a-4)^2-24=M^2，（M为正整数）
即：(a-4)^2-M^2=24
(a-4+M)×(a-4-M)=2×2×2×3

由于(a-4+M)+(a-4-M)=2(a-4)，为偶数，所以(a-4+M)、(a-4-M)的奇偶性相同，即同为奇或同为偶，由于它们的乘积为24，偶数，所以它们同为偶，可知(a-4+M)>(a-4-M)，所以相应的有以下几种分解：12×2、6×4、-4×(-6)、-2×(-12)；

因此有四种情形：
情形一：
a-4+M=12
a-4-M=2
上两式相加，得：2(a-4)=14，解得：a=11，
上两式相减，得：2M=10，解得M=5，则△=M^2=25；
此时方程三个整数根为：x1=11，x2=-3，x3=-8；

情形二：
a-4+M=6
a-4-M=4
上两式相加，得：2(a-4)=10，解得：a=9，
上两式相减，得：2M=2，解得M=1，则△=M^2=1；
此时方程三个整数根为：x1=9，x2=-4，x3=-5；

情形三：
a-4+M=-4<