数学精英 来

为了简化书写，设
3次根号下(n+1) =(n+1)^(1/3)=a
3次根号下(n-1）=(n-1)^(1/3)=b

f(n)表达式中的分母为
a^2+ab+b^2

而a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
因此 f(n)=(a-b)/(a^3-b^3)

a^3=n+1
b^3=n-1
上2式代入分母中，f（n）表达式的分母变为2

f(n)=(a-b)/2
=[(n+1)^(1/3)-(n-1)^(1/3)]/2

f(1)=[(1+1)^(1/3)-(1-1)^(1/3)]/2=[2^(1/3)-0^(1/3)]/2
f(3)=[(3+1)^(1/3)-(3-1)^(1/3)]/2=[4^(1/3)-2^(1/3)]/2
f(5)=[(5+1)^(1/3)-(5-1)^(1/3)]/2=[6^(1/3)-4^(1/3)]/2
……
f(997)=……=[998^(1/3)-996^(1/3)]/2
f(999)=……=[1000^(1/3)-998^(1/3)]/2

以上各式相加，恰好中间项均可相互抵消。
f(1)+f(2)+……+f(999)
=[1000^(1/3)-0^(1/3)]/2
=(10-0)/2
=5