关于等差数列的几点具体的性质

设An为等差数列,d为公差
性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d
Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2
2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k)
3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad
设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质:
4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数.
5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)]
所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列
6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则
An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)]
An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)]
令B(n-1)=An-x1A(n-1)..........................(1)
B(n-1)'=An-x2A(n-1)...........................(2)
则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程组可求出An。
7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c