n个平面最多将空间划分成几分

一 首先考虑 n条直线最多把平面分成an部分
　　于是a0=1 a1=2 a2=4
　　对于已经有n条直线 将平面分成了最多的an块
　　那么加一条直线 他最多与前n条直线有n个交点 于是被它穿过的区域都被一分为二 那么增加的区域数就是穿过的区域数 也就是这条直线自身被分成的段数 就是n+1 故a(n+1)=an+n+1
　　an=n+(n-1)+...+2+a1=n(n+1)/2 +1
　　二 再考虑n个平面最多把空间分成bn个部分
　　于是b0=1 b1=2 b2=4
　　对于已经有n个平面 将空间分成了最多的bn块
　　那么加入一个平面 它最多与每个平面相交 在它的上面就会得到至多n条交线
　　同时被它穿过的空间区域也被它一分为二 那么增加的区域数仍旧是它穿过的区域数 也就是这个平面自身被直线分割成的块数 就是an
　　于是b(n+1)=bn+an
　　bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1
　　=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2
　　=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1
　　=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1
　　=n(n+1)(n-1)/6 +n+1
　　=(n^3+5n+6)/6

〔转贴〕
这个题目有标准经典解法的。

先看二维情况，也就是一个平面中的n条直线，最多把平面划分成多少部分？

解：

记n条直线最多把平面划分成f(n)个部分。

原始数值：f(0)=1；（也可以从f(1)=2开始）

递推公式：

平面中已有n-1条直线，那么新加一条直线，与原(n-1)条直线最多有n-1个交点，这(n-1)个交点把新增直线划分成n个部分，整个平面新增n个部分。

f(n)=f(n-1)+n（n∈Z+）。

最后的结果是f(n)=[n(n+1)/2]+1。