数学三角函数题！急求高人！详细过程！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 02:33:17
题目：在三角形ABC中，已知2sinB=sinA+sinC,且（根号3）*cos(B/2)=2cos(A/2)cos(C/2).
(1)求证：tan(A/2)tan(C/2)=1/3
(2)求tan[(A+C)/2]的值。

(1)
sinA +sinC =2sinB
左边和差化积，右边倍角公式，
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] =2*2sin(B/2)cos(B/2)
2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=2*2sin(B/2)cos(B/2)
cos(B/2)cos[(A-C)/2] =2sin(B/2)cos(B/2)
cos[(A-C)/2] =2sin(B/2)

代入得出：
tan(A/2)*tan(C/2)
=[sin(A/2)sin(C/2)]/[cos(A/2)cos(C/2)]
=-1/2{cos[(A+C)/2]-cos[(A-C)/2]}/(1/2{cos[(A+C)/2]+cos[(A-C)/2]})
=-{sin(B/2)-cos[(A-C)/2]}/{sin(B/2)+cos[(A-C)/2]}
=-[sin(B/2)-2sin(B/2)]/[sin(B/2)+2sin(B/2)]
=1/3
得证。

(2)
（根号3）*cos(B/2) =2cos(A/2)cos(C/2)
（根号3）*cos{[π -(A+C)]/2} =2cos(A/2)cos(C/2)
（根号3）*sin[(A+C)/2] =2cos(A/2)cos(C/2)
sin[(A+C)/2] / [cos(A/2)cos(C/2)] =2/（根号3）
[sin(A/2)cos(C/2) +cos(A/2)sin(C/2)] /[cos(A/2)cos(C/2)] =2/（根号3）
tan(A/2) +tan(C/2) =2/（根号3）

代入得出：
tan[(A+C)/2]
=[(tan(A/2) +tan(C/2)] / [1-tan(A/2)tan(C/2)]
=[2/（根号3）] / (1-1/3)
= 根号3