UC知道一道难度很大的数学探究题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 09:50:12
（1）判断三角形AOB是怎样的特殊的直角三角形。
（2）求三角形AOB面积的取直范围。
（3）当AB=15时，在OB上有一点Q，试求QC+OC最大直与最小直的平方差。
哎，我们区的其中考试每年都考计算量大的题啊,我做的时候全是根号，按计算器不知要按到什么时候~~~惨~
解:
过C作CE垂直OA于E,作CF垂直OB于F.
因为C在直线y=x上,所以CE=CF,DF=CF/(根号3)=CE(根号3)/3
OD=CE-DF=CE[1-(根号3)/3]
所以OB=BD+OD=3*OD=3*CE[1-(根号3)/3]=CE[3-(根号3)]
BF=OB-CE=CE[2-(根号3)]
三角形AOB与三角形CFB相似.
tgB=CF/BF=2+(根号3)
y=kx+b
y=x
x=kx+b,x=b/(1-k)
C点坐标(b/(1-k),b/(1-k))
B点坐标(-b/k,0)
A点坐标(0,b)
tgB=OA/OB=2+根号3
OA=CE*[3-(根号3)]*(2+根号3)
=CE*(3+根号3)
OA=b=(3+根号3)*b/(1-k)
3+根号3=1-k
k=-2-根号3
OB=-b/k=b*(2-根号3)
OA^2+OB^2
=b^2+b^2(4+3-4根号3)
=4b^2(2-根号3)<18*18
三角形AOB的面积=1/2*OA*OB=<1/2*(OA^2+OB^2)=2b^2(2-根号3)<9*18
复杂
后面两问我只能给你解题思路，其实不难，就是手算太麻烦
（1）直角三角形AoB的两个锐角分别为15度和75度。
求证过程：从C点做垂直于X轴的线，交X轴于E点。
假设DE=a，则CE=a*sqrt(3)（即根号三），
而OE=CE，所以OD=OE-DE=(sqrt(3)-1)a,
又由DB=2OD,所以可以求出EB,并且能够得到EB=(2-sqrt(3))*CE
也就是说tg(角ECB)=2-sqrt(3)，于是可知角ECB=15度，即pi/12
(2)知道了三角形AOB的三个角，就可以根据AB和正余弦函数得到OA和OB的长度范围，面积就是（OA*OB)/2了，自己算吧。。。
（3）OC是固定的，QC最大值不是OC就是BC