求曲线的凹凸性与拐点

由曲线凹凸的相关定理知，当二阶导数f"(x)>0（<0）时，曲线是凹（凸）的
。
而拐点即为二阶导数f"(x)=0且左右异号的点。

对于本题，y = e^(-1/2x^2)

一阶导数易求得为 y' = -xe^(-1/2x^2)
对一阶导数在求导数得，
y"=x^2e^(-1/2x^2) -e^(-1/2x^2)=(x^2 - 1)e^(-1/2x^2)

令y" = 0
则得到 x1=-1, x2=1
下面依照定理进行凹凸性和拐点判断。

(1) 当x<-1时，y">0
则在区间(-∞,-1)，曲线是凹的；

(2) 当-1<x<1时，y"<0
则在区间(-1,1)，曲线是凸的；
(3) 当x>1,y">0
则在区间(1,+∞)，曲线是凹的.

综上知曲线的拐点为x=+/-1时取得
即
为 (1,e^(-1/2))
(-1,e^(-1/2))

下凸函数等价于y的二阶导数大于零。
所以这里y是下凸的
拐点的必要条件就是在拐点处二阶导数为零，或者说在x两边的一阶导数为异号。
但从这样看来，这个函数应该没有拐点。