5.高一物理

设 两个星球的质量分别为 m 和 M
它们之间的万有引力 F = GmM/R^2
其中 G 为万有引力常数。

设圆周运动的中心与 m 星球的距离为 s，与M星球距离为 S。
则 s + S = R

每个星球圆周运动的方程
GmM/R^2 = msω^2
GmM/R^2 = MSω^2
其中 ω 代表角速度。因为 ω = 2∏/T，周期T相同，所以它们的角速度也相同。
两个式子做比值运算，得到
1 = ms/(MS)
即 ms = MS
与 s+S =R 联立，推出
s=[M/(M+m)]*R
S=[m/(M+m)]*R

将这个结果重新代回到圆周运动方程中
GmM/R^2 = [mM/(M+m)]ω^2
GmM/R^2 = [Mm/(M+m)]ω^2

消去 mM后，两个等式相加
G/R^2 = ω^2/(M+m)
所以
M+m = (R^2/G)*ω^2 = (R^2/G) * (2∏/T)^2
=4 ∏^2 R^2/(GT^2)

========
附录：s 和 S 的结果，其实可以直接通过 “质心”概念得到。但是，高中阶段 可能对 质心 概念不是很熟悉。所以我给出了s和S推导过程