已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 01:15:37
已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90,把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角形的短直角边为DE,长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
（1）DE交AB于M,DF交BC于N,①证明DM=DN
②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发上变化，请说明如何变化。若不变化，求出其面积
（2）继续旋转，使DE交于BC，DE交AB的延长线于M，DF交BC的延长线于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，给出证明。不成立，说明理由。
（3）继续旋转，使FD延长线交BC于N，ED延长线交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
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1.连接BD,易证△ADM△BDM全等，所以DM=DN
因为△ADM△BDM全等，S四边形DMBN=S△AMD+S△BMD=1/2S△ABC=1/4
第2问第3问自己把图画出来，用和1差不多的方法很容易就能得出DM=DN

解:(1)①连接BD,∵AB=BC,∠ABC=90，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45 ∵D是AC的中点，∴BD是△ABC的中线，∴BD是△ABC的高，
∴∠BDC=90,∴∠DBC=45=∠DCB,∴BD=CD=AD,∴∠DBC=∠DAB=45,
∵∠EDF=90=∠ADB,∠EDB为公共角，∴∠ADM=∠BDN,∴△ADM≌△BDN(ASA),
∴DM=DN.
②四边形DMBN的面积不发生变化，理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN,∴S四边形DMBN=S△ADB,已知△ADB的面积是一个定值
∴四边形DMBN的面积不发生变化，∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC,
∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4.
(2)连接BD,由（1）可知，BD=CD,∵FDE=90,∴∠FDN=90,
∵∠BDC=90,∠FDC是公共角，∴∠BDM=∠CDN,∵∠MBE=∠NDE,
∠BEM=∠NED,∴∠M=∠N,∴△BMD≌△CND(AAS)
∴DM=DN
(3)DM=DN
证明完毕。