UC知道数学代数题一道
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 12:11:38
小强在学习中发现：
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
……
根据上述规律，小强猜出“任意四个连续的正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”这个结论。小强得出这个结论是否正确，如果正确请你证明这个结论；如果不正确，请说明理由。
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
……
根据上述规律，小强猜出“任意四个连续的正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”这个结论。小强得出这个结论是否正确，如果正确请你证明这个结论；如果不正确，请说明理由。
证明：可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3，则有
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数。
是正确的
设这4个数分别是N,N+1.N+2.N+3
那么有可以分解为
[N*(N+3)]*[(N+1)(N+2)]+1
把他们分开乘,是为了方便计算
得到(N^2+3N)(N^2+3N+2)+1
如果你有学过换元法,就很容易了,设N^2+3N=X,则原式变为
X(X+2)+1=X^2+2X+1=(X+1)^2,由于X是自然数,所以X+1也是自然数,
所以原结论成立,且N(N+1)(N+2)(N+3)+1=X+1的平方=N^2+3N+1的平方
4个连续整数为 n-2 n-1 n n+1
(n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n)(n^2-1)+1
=n^4-n^3-n^2+n+1
=(n^2-n-1)^2
任意四个连续的正整数的积与1的和一定是一个完全平方数这个结论成立
N*（N+1）*（N+2）*（N+3）+1
=（N²+3N）*（N²+3N+2）+1
=（N²+3N）² +2（N² +3N）+1
=（N² +3N+1）²
所以小强得出这个结论正确