UC知道如果a平方+b平方能被质数4m+3整除,证明a能被4m+3整除。（都是整数）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 07:28:00
如果a平方+b平方能被质数4m+3整除,证明a能被4m+3整除。（都是整数）
问题补充：x能被y整除,是说x=ny而不是y=nx.
lxuanr37说“n(4m+3)-b2<4m+3
无论b是零还是大于零，这个式子好像都不能成立”
但这个式子可以成立呀，而且你没有用到4m+3是质数这个条件（这是必要的，比如合数15满足4m+3,3平方+6平方=45可以被15整除，但3或6不能被15整除。这个例子代到你式子里，a=3,b=6,m=3,c=0,x=3,n=3,3*(4*3+3)-6平方<4*3+3就成立了）
大家努力啊！做出来追加到100分！
FancyMouse:注意:题目中是说4m+3是质数,但15不是质数.我举这个例子是为了提醒要用到质数这个条件.
1123581113:是应该用反证法，但我试过了，还是做不出来。主要是质数这个条件怎么用？
我做出来了~
这样吧，我先给你补充一点知识
（显然有些繁，但其中有些证明可以略去不看，只要将其当定理就行，不太难，高中竞赛有时候用到它们非常简捷）
希望您能耐心看下去
谢谢！
（我用=代表同余吧）
考虑同余方程：x^2=a(mod p)
（p为质数）
如果方程有不被p整除的解
则称a为模p的二次剩余，
如果方程没有解
则称a为模p的二次非剩余
如果方程只有被p整除的解，显然p|a
下面我们证明
定理1：若p为质数，则模p的两个二次剩余的积是二次剩余，模p的一个二次剩余和一个二次非剩余之积为二次非剩余，模p的两个二次非剩余的积为二次剩余
引理（也可以当定理用）：
设p为奇质数，则模p的任一完全剩余系中恰有(p-1)/2个二次剩余，以及(p-1)/2个二次非剩余，且模p的二次剩余都在数
1^2,2^2,...,r^2……（1）
所在的模p的同余类中
这里r=(p-1)/2
引理的证明：（如果不太懂，可以不看）
我们先注意，（1）中的数彼此不同余，这是因为，若（1）有a^2,b^2模p同余，即a^2=b^2(mod p)
即
(a+b)(a-b)^2=0(mod p)……（2）
因为1<=a,b<=r，故1<a+b<p，因此p与a+b互质，
（2）化为a-b=0(mod p)，故（1）中的数彼此不同余
而显然（1）中的数均为模p的二次剩余，故模p的二次剩余至少有r种
另一方面，模p的二次剩余当然必须同余于1^2,2^2,...,(p-1)^2，而
1^2=(p-1)^2(mod p)
2^2=(p-2)^2(mod p)
...
(r-1)^2=(r+2)^2(mod p)
r^2=(r+1)^2(mod p)
故
1^2,2^2,...,(p-1)^2……（3）
被p除的余数事实上只有r种（每种余数对应两个（3）中的数），故模p的二次剩余至多有r种<