f(x)=a(sinx-cosx)的平方+2(sinx+cosx)的最小值和最大值~~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 14:07:12
恕我问一个比较蠢的题目~~~
不过~~~
不耻下问嘛~~~
呵呵~~~

f(x)=a(sinx-cosx)^2+2(sinx+cosx) = a - 2asinxcosx +2(sinx+cosx)

令 t=sinx+cosx
则 t=√2sin(x+π/4) ,所以 -√2≤t≤√2
而 t^2 = 1+2sinxcosx, 即 2sinxcosx = t^2-1
所以
f(x) = a -a(t^2-1)+2t= -at^2 +2t +2a
·若a=0时
f(x)的最大值为 max = 2√2,最小值为min=-2√2
·若a≠0时
f(x)=-at^2 +2t +2a = -a(t-1/a)^2 +2a+1/a
下面再分情况讨论。
·当a>0时（开口向下）
(1) 0<a<=√2/2 时
最大值为 max =-a(√2-1/a)^2 +2a+1/a
最小值为 min =-a(-√2-1/a)^2 +2a+1/a
(2)a>√2/2时
最大值为 max = 2a+1/a
最小值为 min =-a(-√2-1/a)^2 +2a+1/a

·当a<0时（开口向上）
(1)-√2/2<a<0时
最大值为 max =-a(√2-1/a)^2 +2a+1/a
最小值为 min =-a(-√2-1/a)^2 +2a+1/a
(2)a<-√2/2
最大值为 max =-a(√2-1/a)^2 +2a+1/a
最小值为 min = 2a+1/a

结果自己化简一下。

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