不等式与最值(2)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 11:59:43
若a,b,c>0 且x^2+y^2+z^2=1
试求:f(x,y,z)=a/x+b/y+c/z,在x,y,z同为正时的最小值

这个题怎么解? x^2+y^2+z^2我怎么也凑不出来啊....

x^2+y^2+z^2=1 这是一个半径为1 的球

当x=y=z 时，最小

f(x,y,z)=a/x+b/y+c/z>=3*三次根号[(abc)/(xyz)]
当且仅当a/x=b/y=c/z时取等号

又x^2+y^2+z^2>=3*三次根号(x^2y^2z^2)
所以 三次根号下(xyz)<=1/根号3
所以 1/三次根号下(xyz)>=根号3

所以 f(x,y,z)>=3*根号3*三次根号(abc)