已知a，b均大于零，且a+b=4，设（a+1/a）与（b+1/b）的平方和为M，求M的最小值。

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
>=1/2*(a+b)^2 +1/2*(1/a +1/b)^2 +4
=1/2*4^2+ 1/2*(1/a +1/b)^2+4
=12+1/2*(1/a+1/b)^2

因为ab<=1/4*(a+b)^2=1/4*4=1,
所以1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab >=1；
(1/a +1/b)^2>=1
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=12+1/2*1=25/2
所以，M的最小值是25/2

原式=（（a+1）/a）^2+((b+1)/b)^2
=16/(a^2b^2)+6/(ab)+2
=(4/ab+3/4)^2+23/16
4=a+b≥2√ab
∴ab≤4仅当a=b=2是成立
∴M最小为2*（3/2）^2=9/2

25/2