一道数学题目．

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 11:40:54
已知数列｛bn｝的通项公式bn=2n-1,数列｛an｝的通项公式an=lg(1+1/bn),记Sn为an前n项和,比较Sn与1／2lgb(n+1)的大小．最好用数学归纳法．

归纳法
n=1 S1=a1=lg(1+1/b1)=lg2=1/2lg4>1/2lg3=1/2lgb2
设n=k时 Sk>1/2lgb(k+1)成立
要证S(k+1)=Sk+a(k+1)=Sk+lg(1+1/(2k+1))>1/2lgb(k+1)+lg(1+1/(2k+1))=lg(√(2k+1)+lg[(2k+2)/(2k+1)]=lg[(2k+2)/√(2k+1)]
由于(2k+2)^2-(2k+1)(2k+3)=1>0 所以(2k+2)^2>(2k+1)(2k+3)
于是lg[(2k+2)/√(2k+1)]>lg(√(2k+3)=1/2lg(2k+3)=1／2lgb(k+2)
S(k+1)>1／2lgb(k+2)
于是对于正整数n S(n+1)>1／2lgb(n+2)成立