三角形周长为15 OB OC平分角ABC和角ACB OD垂直BC OD=4求ABC面积

过O作OE垂直AB,OF垂直AC,根据三角形的性质可知O为三角形ABC的内心,所以O到三角形三边的距离相等且OD=OE=OF=4,
连接AO,三角形ABC被AO,BO,CO分为三个小三角形AOB,AOC和BOC,那么三角形ABC的面积就是这三个小三角形的面积和,
所以ABC面积=BC*OD/2+AB*OE/2+AC*OF/2
=(AB+AC+BC)*OD/2
=15*4/2
=30

做辅助线OE垂直于AC、OF垂直于AB

可以证明——
△BOF≌△BOD
△COE≌△COD
进一步
△AOF≌△AOE

所以 OF = OE = OD = 4

S△BOC = BC*OD/2 = 2*BC
S△COA = CA*OE/2 = 2*CA
S△AOB = AB*OF/2 = 2*AB

S△ABC = (AB + BC + CA)*2 = 30

因为O是角ABC和角ACB平分线的交点，所以O是三角形的内心，根据公式：S=1/2（a+b+c)*r=1/2*15*4=30