设K（K≥3）是给定的正整数，是否存在正整数M、N使得M（M+K）=N（N+1）？

解：同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m，··········①
由于k≥3，所以可得：n-m>0，即：n>m，n/m>1，
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1，
所以：m+k>n+1，
因此：m<n<n+1<m+k，则m<n<m+k；
由上可知，从m到m+k之间的正整数有k-1个，

但当k=3时，则：m<n<m+3，那么有两种情况：n=m+1，n=m+2，分别代入①式，有：
n=m+1时，得到：2m+2=2m，显然这是不成立的；
n=m+2时，得到：2(2m+3)=2m，显然这也是不成立的；
因此，当k=3时，是不存在正整数解的；

但当k≥4时，由m<n<m+k知，n的取值是从m+1到m+k-1，即：m+1≤n≤m+k-1，不妨设n=m+b，b代表从1到k-1之间的正整数，代入①式，得：
b(2m+b+1)=(k-1)m
解得：m=(b²+b)/(k-1-2b)，
则k-1-2b≥1，得：b≤(k-2)/2，
所以b的取值范围是：1≤b≤(k-2)/2，

例如：取k=4，则1≤b≤1，则有
b=1时，m=2/(3-2)=2，此时n=2+1=3，

当k=3时，是不存在正整数解的，但只要是k≥4，就一定存在正整数m、n，使得m(m+k)=n(n+1)成立。

当k=3时，若存在正整数m,n,满足m(m+3)=n(n+1),
则4m2+12m=4n2+4n,(2m+3)2=(2n+1)2+8,
(2m+3-2n-1)(2m+3+2n+1)=8,(m-n+1)(m+n+2)=2,
而m+n+2＞2，故上式不可能成立.
当k≥4时，若k=2t(t是不小于2的整数)为偶数，取m=t2-t,n=t2-1,
则m(m+k)=(t2-t)(t2+t)=t4-t2,n(n+1)=(t2-1)t2=t4-t2,
因此这样的（m,n）满足条件.