f(x+y)=f(x)+f(y)+xy 有f(1)=1 f(0)=0 求f(x)解析式

令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x*1
即f(x+1)=f(x)+x+1

所以
f(x)=f(x-1)+(x-1)+1
即f(x)=f(x-1)+x
f(x-1)=f(x-2)+x-1
f(x-2)=f(x-3)+x-2
……
f(3)=f(2)+3
f(2)=f(1)+2
全部相加
左右相同的抵消
f(x)=f(1)+[2+3+……+(x-1)+x]

2+3+……+(x-1)+x=(2+x)(x-1)/2=(x²+x-2)/2
f(1)=1
所以f(x)=(x²+x)/2

令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x*1
即f(x+1)=f(x)+x+1
即f(x+1)-f(x)=（f(x+1)-f(x)/(x+1-x)）=f'(x+1)=x+1
积分并带入f（0）=0有f(x)=(x²+x)/2

设:f(x)=a1+a2*x+a3*x^2+... (a1,a2,a3,...为常量)
而:f(0)=0,所以:a1=0
所以:f(x)=a2*x+a3*x^2+...

而:f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
所以:f(x+△x)=f(x)+f(△x)+x*△x
(f(x+△x)-f(x))/△x=(f(△x)/△x)+x
lim(△x->无穷小)(f(x+△x)-f(x))/△x =(lim(△x->无穷小) f(△x)/△x)+x

而:
lim(△x->无穷小)(f(x+△x)-f(x))/△x =f'(x)
lim(△x->无穷小) f(△x)/△x =lim(△x->无穷小) (a2+a3*△x+a4*(△x)^2+...)=a2

所以: f'(x)=a2+x
f(x)=∫(a2+x)dx=(1/2)x^2 + a2*x +C (C为常量)
而:f(1)=1