已知:a^4+b^4+c^4+d^4= 4abcd试说明a=b=c=d.
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/24 17:50:42
已知:a^4+b^4+c^4+d^4= 4abcd试说明a=b=c=d.
解:本人用很简单的方法即可搞定此题。
由已知,添项得
a^4+b^4-2a^2*b^2+2a^2*b^2+c^4+d^4-2c^2*d^2+2c^2*d^2-4abcd=0,即得
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2*b^2-2abcd+c^2*d^2)=0
又得
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0,
由于以上三项都是平方式,即都是非负数,所以只能是
(a^2-b^2)^2=0,可得a=正负b,
(c^2-d^2)^2=0,可得c=正负d,
2(ab-cd)^2=0,可得ab=cd,
注:楼主,您的题目可能条件不足,因为由以上解答不仅可以得出a=b=c=d,还可以得出a=-b=c=-d等等。请您核对。
此题有问题
如a=b= -c= -d,a不等于0时
如果能够限定都是正数则可以
a^4+b^4+c^4+d^4>=2a^2b^2+2c^2d^2
当且仅当a=b,c=d时等号成立
2a^2b^2+2c^2d^2>=4abcd
当且仅当ab=cd时等号成立
所以当且仅当a=b=c=d时成立
a^4+b^4+c^4+d^4= 4abcd在有理数范围内不能说明a=b=c=d.因为只要a、b、c、d中两个为正1两个为负1就可以使式子成立。显然a=b=c=d不成立。
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