数学》》》难解。。。

在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC;P,Q在斜边
上,且∠PCQ=45 ,求证:PQ*PQ=AP*AP+BQ*BQ.

解: 把△ACP旋转到△DCB, 接DQ.
∵∠PCD=90 , ∠PCQ=45
∴∠QCD=45 =∠PCQ
∵PC=DC,CQ=CQ
∴△PCQ～=△DCQ
∴PQ=DQ
∵∠CAP+∠CBQ=90
∠CAP=∠DBC
∴∠DBC+∠CBQ=90
∴QB*QB+BD*BD=QD*QD
∴QB*QB+AP*AP=PQ*PQ

参考：

.将三角形APC顺时针旋转90度到三角形BCE
则BE=AP,角EBC=角A=45，角BCE=角ACP,CE=PC

根据角EBC=角A=45 ，则角ABE=角EBC+角ABC=90，三角形BQE为直角三角形
根据角BCE=角ACP，角ACP+角BCQ=90-角PCQ=45,则角ECQ=角BCE+角BCQ=45
即角ECQ=角PCQ，CE=PC，CQ为公共边，三角形PCQ与CQE重合，QE=PQ
在直角三角形BQE中，BE^2+BQ^2=QE^2
AP^2+BQ^2=PQ^2