在△ABC三边各不相等,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosA=bcosB,求(a+b):c的取值范围

解:由acosA=bcosB得,2A=2B或2A=180°-2B.
即A=B或A+B=90°
∵△ABC三边各不相等 ∴A≠B,A+B=90°
即C=A+B=90°
(a+b):c=(sinA+sinB):sinC=(sinA+sinB):1=sinA+sinB
∵A=90°-B ∴sinA+sinB=sin(90°-B)+sinB=sinB+cosB=根号2sin(B+45°)
∵B∈（0°，90°） →B+45°∈（45°，135°)
∴sin(B+45°)∈(根号2/2,1) ∴sinA+sinB∈(1,根号2)
即(a+b):c∈(1,根号2)