圆锥的底面半径是r,高是h.(1)把高n等分,以h/n为高.....

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 06:49:47
圆锥的底面半径是r,高是h.
1)把高n等分,以h/n为高,在圆锥内作出n-1个内接圆柱,求这些圆柱的体积之和.
2)求证:当n无限增大时,这些圆柱的体积之和的极限是圆锥的体积之和 1/3派r^2 h.
写详细一点 谢谢~~~

1、设内接圆柱的底面半径为x，则根据相似：（r-x）/r=H/h 得：x=r(H-h)/h 其中H=h/n
2、最下面的外接圆柱体积（其中pi为圆周率,^符号是指指数，即x^2就是x的平方）：V1=pi*[r(h+1)/h]^2*H
3、依次类推，第K个（k<=n-1）外接圆柱的体积:Vk=pi*[r(h-KH)/h]^2*H,将H=h/n带入得：Vk=pi[r(h-hk/n)/h]^2*h/n=pi*r^2*h*(1-k/n)^2，展开得Vk=pi*r^2*h/n*(1-2k/n+(K^2)/(n^2))
4、对VK用求和公式得(其中K从1一直加到n-1)：sumV=pi*r^2*h/n*[n-1-(n-1)*n/n+(n-1)*n*(2n-1)/(6*n^2)],化简得：sumV=pi*r^2*h*[(n-1)*(2n-1)/(6*n^2)]
5、取极限：sumV=pi*r^2*h*[(n-1)*(2n-1)/6*n^2)]＝
pi*r^2*h/6*(1-1/n)*(2-1/n)
当n取无穷，则sumV=pi*r^2*h*[(n-1)*(2n-1)/6*n^2)]＝
pi*r^2*h/6*(1-1/n)*(2-1/n)＝pi*r^2*h/6*2＝pi*r^2*h/3 恰好是圆锥体积