二次方程在几何上的应用问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 23:56:32
在三角形ABC中,角C=90°,AC、BC的长分别是方程X平方－7X＋12＝0的两个根，三角形ABC内一点P到三边的距离都相等，则PC的长为多少？
请告诉我三角形内一点到三边的距离都相等是怎么取？

做3边的中垂线,交点即为P点.

由方程解得AC=3，BC=4，因此AB=5
在圆内取一点P
因为P到三边的距离相等
所以，以P点为圆心的圆的这个三角型的内切圆，G、E、F是分别为AB，AC、CB上的切点
连接圆心与切点
连接PC，AP、BP
因为角PEC、角PFC是直角（因为E、F是切点）；PE=PF（半径）；PC是公共边
所以三角型PCE全等于三角型PCF
所以角PEC=角PCF，即PC是角ACB的角分线
同理证得AP、BP是角分线
所以P点是三个角的角分线的交点
因为三角型ABC的三边长已知，设CF=CE=X；FB=BG=Y；AG=AE=Z
根据列三元一次方程解得，CF=1，也就是说内切圆半径=1
所以PC=根号2

方程X平方－7X＋12＝0 ＝>（x-3）(x-4)=0(十字相乘法）；
所以方程的两根X1＝3，X2＝4
所以AB＝5
所以PC＝S三角形ABC/（AB+AC+BC)*2=1;
三角形内一点到三边的距离都相等，此点就是三角形的内心（内切圆圆心）。作法是作三角形三个角的角平分线，三条线相交的点即是内心（三角形三条角平分线必定交于一点，可用塞瓦定理证）。