大一高数连续函数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 17:41:10
若f(x)∈C(a,b)，a<x1<x2<...<xn<b，则必有ξ∈[x1,xn]，使得
f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n成立。
求证明。

加上条件f(x)在[x1,xn]上连续
由于连续，所以f(x)在[x1,xn]有最大值和最小值，分别设为M，m
令[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n=k显然m<=k<=M,再令g(x)=f(x)-k
在最大值点xi,最小值点xj有g(xi)=M-k>=0,g(xj)=m-k<=0
由介值定理，在[min(xi,xj),max(xi,xj)]上存在ξ，使g(ξ)=0,即
f(ξ)=k=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n