斯泰纳-莱默斯定理

斯泰纳－莱默斯定理设三角形ABC垂心为H，共外接圆上任意一点P，则三角形ABC关于P点的西姆松线过线段PH的中点。

定理:设 P 是△ABC 所在平面上一点，P在它的三边BC，CA，AB 所在直线上的射影分别为X，Y，Z ，则P在△ABC的外接圆上的充要条件是：X，Y，Z 三点共线。
本定理中，X，Y，Z 三点所在的直线叫△ABC关于点P的西姆松线。
例1．设 P 是△ABC 的外接圆弧 BC 上任意一点，P 在它的三边 BC，CA，AB 所在直线上的射影分别为D，E，F ，PD，PE，PF 或其延长线与外接圆分别交于 X，Y，Z 。证明：AX，BY，CZ 都是△ ABC 关于点 P 的西姆松线的平行线。
例2．设 H 是△ABC 的垂心，P 是它的外接圆上任意一点，求证：△ ABC 关于点 P 的西姆松线平分线段 PH 。
例3．在△ ABC 中，AC＞BC ，外接圆直径 DE⊥AB 于 F ，其中 C 和 E 在 AB 的同侧，过 C 作 CL⊥DE 于 L ，求证：DE·EF＝（AC + BC）的平方÷ 4 。（93年SMO训练题）。

假设AB＞AC则∠DCB＞∠EBC，以C为顶点，CD为一边，在CD上方作∠DCF＝∠ABE,交BE于点O，在△FOB与△FDC中，因为∠BFO＝∠CFB，∠FBO＝∠FCD，所以△FOB与△FDC为相似三角形，因为∠FCB＝∠DCB＋∠DCF，∠FBC＝∠ABE＋∠EBC＝∠DCF＋∠EBC，∠DCB＞∠EBC，所以∠FCB＞∠FBC，所以FB大于FC，所以BO＞CD（相似三角形定理），所以BO＋OE＞CD，即BE＞CD，与条件BE＝CD矛盾，∴AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形。　　　　　　　
我想了三四天，原创，无提示（我之前有没有人这么证？）图自己画，我无法提供，还请指出错误或漏洞，谢谢。
作者：宜昌外校705舒扬