一道数列题，要详细过程

其实这个题目看起来好像挺难的，主要是把对数的一个小性质弄进来了。但是你在开始的时候进行一点小小的转变，就简单了，下面给出我的证明：

解：
Log25(上面是X)+log25(上面是26*25^k-1次方-X)≥2k-1……（1）
由于Log25(a)+Log25(b)=Log25(a*b),且2k-1=Log25(25的2k-1次方）
所以（1）式可以变形成：
Log25[X*(26*25^k-1次方-X)]≥Log25(25的2k-1次方）
由于Log25(X）是一个递增的函数
所以X*(26*25^k-1次方-X)≥25的2k-1次方
即：X^2-26*25^(k-1)*X+25^(2k-1)≤0……（2）
你令t=25^(k-1)的话，
那么25^(2k-1)＝25*25^(2k-2)=25*t^2
所以上面的（2）式就可以转化为：
X^2-26*t*X+25*t^2≤0
这个是一个可以分解因式的：
(X-t)(X-25t)≤0
即：t≤X≤25t
我把t=25^(k-1)还原进去就可以得到解：
25^(k-1)≤X≤25^k
那么显然，X的整数解的个数为：
M(k)=25^k-25^(k-1)+1＝24×25^(k-1)＋1
对于通项公式M(k)=24×25^(k-1)＋1求前n项和，
我相信你应该会求吧？还是把结果稍微写一下：
那么S=M(1)+M(2)+……+M(n)可以这样看
M(1)=24×25^0＋1
M(2)=24×25^1＋1
M(3)=24×25^2＋1
……
M(n)=24×25^n＋1
这上面n个式子相加得：
S=24×(25^0+25^1+25^2+…+25^n)+n
上式的括号中是一个首项为1，公比为25，共n项的等比数列求和
S=24×(25^0+25^1+25^2+…+25^n)+n＝
S＝25^n+n-1