△ABC中,∠CAB=90度,AC=AB,P是△ABC内一点,满足PA=1,PB=3,PC=7的2次方根,求角CPA的度数

把△APC绕点A旋转90度，使C转到B，设这时P转到Q.
AQ=AP=1,BQ=PC=√7，∠PAQ=90°.
△PAQ是等腰直角三角形，PQ=√2,∠AQP=45°.
PQ^2=2,QB^2=7,PB^2=9,满足PQ^2+QB^2=PB^2,所以△BPQ是直角三角形，∠PQB=90°。
∠CPA=∠BQA=∠PQB+∠AQP=45°+90°=135°.

设a>0,0<x<a,0<y<a
A点坐标(0,0)
B点坐标(a,0)
C点坐标(0,a)
P点坐标(x,y)

x^2+y^2=1…………（1）
(x-a)^2+y^2=9……（2）
x^2+(y-a)^2=7……（3）

(2)-(1)得到x=(a^2-6)/2a……（4）
(3)-(1)得到y=(a^2-8)/2a……（5）
（4）、（5）代入（1）化简得到
a^4-16a^2+50=0
解得
a^2=8+根号(14)或者a^2=8-根号(14)
又由（5）知道a^2>8
所以
a^2=8+根号(14)

cos(<CAP)
=(PC^2+PA^2-CA^2)/(2PC*PA)
=(1+7-(8+根号(14)))/(2*1*根号(7))
=-根号(14)/(2根号(7))
=-根号(2)/2

<CAP=135度