请教两道高中函数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 04:12:03
1、已知函数f(x)=2^x-a/2^x,h(x)=2-2^(x-2)+a/2^(x-2)，设F(x)=f(x)1/a+h(x),已知F(x)的最小值是m，且m>2+√7，求实数a的取值范围。
2、函数y=kx(k>0)的图象与函数y=log2(x）的图象交于A1,B1两点（A1在线段OB1上，O为坐标原点），过A1,B1作x轴的垂线，垂足分别为M,N,并且A1M.B1N分别交函数y=log4(x)的图象与A2,B2两点。若A1B2平行于x轴，求四边形A1A2B2B1的面积。

谢谢。

1.F(x)=(2^x-a/2^x)/a+2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
=(1/a-1/4)2^x+(4a-1)/2^x+2
作换元t=2^x,由于2^x值域为(0,+∞),所以t>0(注意0取不到)
由于函数定义域的端点值取不到,所以如果函数有最值,那么该最值就一定在非端点处取到(因为端点值不在定义域内),也就是说该函数一定不是单调函数,而对于形如y=ax+b/x的函数只有当ab>0时才是(0,+∞)上的非单调函数,所以(1/a-1/4)(4a-1)>0
解得a<0或1/4<a<4
当a<0时,变量t的两个系数都为负数,此时F(x)只有最大值,不合题意.
当1/4<a<4时,t的两个系数都为正数,并且t也为正数,所以可以用基本不等式:F(x)≥2√[(1/a-1/4)(4a-1)]+2
所以m=2√[(1/a-1/4)(4a-1)]+2>2+√7
联立1/4<a<4解得:1/2<a<2

2.设A1(x1,y1),B1(x2,y2)(x2>x1)
由于A1,B1是直线和对数曲线的交点,所以:
kx1=log2(x1)...............[1]
kx2=log2(x2)...............[2]
MA1=y1=log2(x1)
NB2=log4(x2)=1/2log2(x2)
又MA1=NB2
所以log2(x1)=1/2log2(x2)
所以x2=x1^2
带入[2]式中得到kx1^2=log2(x1^2)=2log2(x1)=2kx1(注意[1]式)
由于k,x1均不为0,所以x1=2
从而x2=4,k=1/2
A1(2,1),A2(2,1/2),B1(4,2),B2(4,1)
易求得面积为3/2

说明:(1)对于行如y=ax+b/x的函数要记得其函数图形,因为此类函数用的很多,一般来说这类函数有两种,现假定a>0(对于a