高二有关抛物线的问题

这道题其实解决起来很有技巧，不需要什么运算。
下面我解释给你看为什么答案是5：

首先，
把y=x(平方)+4x+n变化成y=(x+2)(平方)+n-4；
也就是说该抛物线的对称轴是x=-2，开口朝上，最低点是(-2,n-4)；
然后题目说的是到(-2,0)的距离最短，其实(-2,0)就是对称轴与x轴的交点对吧。
然后呢，离A点距离最近的点P，它的纵坐标是3；
下面分三种情况讨论：
1）抛物线与x轴有两个交点：那么只要你稍微画个草图或者根据常识就知道距离A点最近的点决不可能出现在x轴的上方，即纵坐标>0的地方，但题目已经说了满足条件的P点就是在x轴上方，说明这种情况不成立。
2）抛物线与x轴相切，想都不用想，这种情况不成立，因为距离A最近的点就是它本身。
3）只剩下抛物线不与x轴有交点这种情况了。那你想，什么点会离处在对称轴上的A点最近呢，明显是抛物线的最低点吧！也就是说P点就是抛物线的最低点。

想清楚上面的问题，我们现在可以很快解决这个问题了。
由第三条结论可知，有这个算式;n-4=3，所以n=7；
然后把P点带入到抛物线方程中可知m=-2。
所以嘛，m+n=5

现在你应该清楚了吧！

P（m，3）在抛物线y=x（平方）+4x+n上
3=m^2+4m+n
PA^2=9+(m-2)^2,有最小值,m=2,带入上面方程,n=-9
m+n=-7

解答：
在y=x^2+4x+n上任取一点M(x,y),则
|MA|^2＝(x+2)^2+y^2
＝(x+2)^2+x^2+4x+n
＝2x^2+8x+n+4
＝2(x+2)^2+(n-4)
∴当x＝-2时，|MA|最小值＝√(n-4)(n≥4).
故由条件得：
m＝-2，
√(n-4)＝3→n＝13.
∴m+n=11.

因为PA^2=3^+(m+2)^2
则当m=-2时,P点距A（-2，0）最近。
于是，P（-2，3）
将点的坐标代入抛物线可得