求函数f(x)=x的平方+2ax+3,X∈[-1,1] 的最值

下面的解答中，a*a表示a的平方，“<=”表示“小于等于”。

解：变形：
f(x)=(x-a)*(x-a)+(3-a*a)

可见a是f(x)的顶点。对于一元二次方程来说，在顶点两侧函数增减性会发生变化。由于x平方的系数为1，大于0，抛物线口向上。

如果a<-1,则顶点位于定义域左侧，函数在定义域上是单调增函数。
最大值f(1)=4＋2a
最小值f(-1)=4－2a

如果a>1,顶点位于定义域右侧，函数在定义域上单调递减：
最大值f（-1)=4-2a
最小值f(1)=4+2a

当－1<a<1时，顶点位于定义域内，在顶点取得最小值。最大值要分两种情况（注意到f(x)关于x＝a对称）

如果－1<a<=0，
最大值f(1)=4+2a
最小值f(a)=3-a*a

如果0<a<1，
最大值f(-1)=4-2a
最小值f(a)=3-a*a

综合以上分析，得：
max f(x) = 4+2a 当a<=0
max f(x) =4-2a 当a>0

min f(x) =4-2a 当a<=－1
min f(x) =3-a*a 当－1<a<=1
min f(x) =4+2a 当 a>1

解毕

自己画个图就明白了。

刚补充了个最后答案，应该没错。