证明sin2是无理数

利用反证法，如果sin2是有理数那么cos2也是有理数
那么sin2+cos2也是有理数即根号2倍的sin(2+45)是有理数，因为根号2是无理数，所以根号2倍的sin(2+45)也是无理数，即sin2+cos2是无理数，这与sin2+cos2是有理数相矛盾，所以假设不成立，所以sin2是无理数
反正法是一种重要的证明方法，要熟练掌握。

1楼犯了个大错误，如果sin2是有理数那么cos2也是有理数？显然错误！因为有理数的算术平方根未必就是有理数！
证明：
sin2度=cos44π/45（弧度）
引理：若θ=kα（k∈Q）满足cosθ∈Z，则cosα=±1或±1/2或0或无理数。（证明略）
现在设α=44π/45，令k=45,则cos45α=cos44π=1为整数，所以cosα=±1,±1/2,0在[0，π/2]只可能取α=0或π/6或π/2，但α≠0或π/6或π/2，所以cosα=cos44π/45一定是无理数。
证毕。

我的理解：
用泰勒公式把sin2展开成无穷幂级数形式，可以发现这个幂级数是正负交替出现的。根据这些幂级数求sin2时，随着项数的增多，计算值呈衰减振荡形式收敛于某一个值。也就是说sin2的值是在两个无限接近的有理数之间的。而在极限情况下，存在于两个无限接近的有理数之间的，就是一个无理数。