三角形ABC中,AC=BC,角BCA=90度,P Q在AB上,角PCQ=45度 求证PQ^2=AP^2+BQ^2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 03:03:40
本人初二，最好用初中学过的知识证明
最好详细一点

在△ABC外作∠ACM=∠BCQ,且使CM=CQ,连结MP,
∵AC=BC,
∴△AMC≌△BQC(SAS)
∴∠MAC=∠B=45°,AM=BQ,
∴∠MAP=∠MAC+∠CAP=45°+45°=90°,
∴MP^2=AP^2+AM^2=AP^2+BQ^2,
∵∠BCA=90°,∠PCQ=45°,
∴∠ACP+∠BCM=45°,
∵∠ACM=∠BCQ,
∴∠ACP+∠ACM=45°,
即∠MCP=∠BCP,
∵CM=CQ,PC=PC,
∴△MCP≌△QCP,
∴PQ=MP,
∴PQ^2=AP^2+BQ^2.

设斜边的中点为M,斜边的高CM=1
角QCM=a
则MQ=tana
MP=tan(45-a)=(1-tana)/(1+tana)
PQ=tana+(1-tana)/(1+tana)
=(1+tan^2a)/(1+tana)
BQ=MB-MQ=1-tana
AP=AM-MP=1-(1-tana)/(1+tana)
=2tana/(1+tana)
所以BQ^2+AP^2=(1-tana)^2+【2tana/(1+tana)】^2
=(1+tan^2a)^2/(1+tana)^2
=PQ^2
所以PQ^2=AP^2+BQ^2

提示一下:在三角形PQC里面做CQ边的垂线.很简单的.把问题转化到一个直角三角形里面去解决.再证明边等长就行了.