数学题请高手回答

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 04:17:04
AD是直角三角形ABC斜边BC上的高,角B的平分线交AD于M,交AC于点E,角DAC的平分线交CD于点N，求证：四边形AMNE是菱形

设AN与BE相交于点O。
∵∠ADC=∠BAC=90°,∠C=∠C
∴三角形ABC∽三角形DAC
∴∠ABC=∠DAC
∴∠NAM=∠EBD
在三角形AMO,三角形BDM中
又∵∠BMD=∠AMO
∴∠AOM=∠BDM=90°
在三角形AMO,三角形AEO中
∠MAO=∠EAO,∠MOA=∠EOA=90°
AO=AO
∴三角形MAO≌三角形EAO
∴MO=EO
在三角形BAO，三角形BNO中
∠ABO=∠NBO,∠BOA=∠BON=90°
BO=BO
∴三角形ABO≌三角形NBO
∴AO=NO
∵∠MOA=90°
AO=NO
MO=EO
∴四边形AMNE是菱形