急,抛物线难题,在线等待!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 19:40:36
已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A B,且|AB|小于等于2p
(1)求实数a的取值范围
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求三角形NAB的面积最大值

(Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得

x2-2(a+p)x+a2=0

设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),

则

4(a+p)2-4a2＞0

x1+x2=2(a+p)

x1x2=a2.

∴｜AB｜= =

∵0＜｜AB｜≤2p,8p(p+2a)＞0，∴0＜ ≤2p,解得- ＜a≤-

(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x0,y0),

由中点坐标公式有

∴｜QM｜= = p

又∵△MNQ为等腰直角三角形，

∴｜QN｜=｜QM｜= p

∴S△NAB= ｜AB｜·｜QN｜= p·｜AB｜≤ p·2p= p2

即△NAB面积的最大值为 p2.