已知函数f(x)=x的三次方+x+1(x∈R),求证当x∈(-1,1)时,满足f(x)=0的实数值有且只有一个

设，x1>x2 ,x1x2∈(-1,1)
f(x1)-f(x2)=(x1^3+x1+1)-(x2^3+x2+1)=( x1^3-x2^3)+( x1-x2)
因为x1>x2 ，所以( x1^3-x2^3)>0, ( x1-x2) >0
所以f(x1)-f(x2) >0
所以f(x)在(-1,1)内为单调递增函数。
且f(-1)=-1,f(1)=3
所以,存在唯一的x0,x0 ∈(-1,1),且f(x0)=0
因为f(x)在(-1,1)内为单调递增函数，所以，f(x)的函数图象在直角坐标系中有且仅有可能和x轴相交一次，所以满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个。
证毕！

对f(x)进行求导，得导数为3x^2+1恒大于0，所以f(x)在x∈(-1,1)时单调递增。
f(-1）=-1，f(1)=3，由于函数是连续的，由中间值定理，在x∈(-1,1)时，一定存在某个x0，使f(x)=0，且由于单调性，只存在一个解。

f(x)=x^3+x+1
f(x)'=2x^2+1>0 x∈R
所以f(x)单调递增
当x=1时 f(1)=3
当x=-1时 f(-1)=-1
f(1)*f(-1)<0 且f(x)单调递增
所以当x∈(-1,1)时,满足f(x)=0的实数值有且只有一个