求 sin t / t 在 零到正无穷积分

设a≥0，k>0,J(a,k)=∫[0,+∞]e^(-kx)sin(ax)/xdx.
dJ(a,k)/da=∫[0,+∞]e^(-kx)cos(ax)dx=k/(a^2+k^2).
再对a求积分，得J(a,k)=arctan(a/k).
J(a,0)=lim[k->+0]arctan(a/k)=π/2.
特别是J(1,0)=∫[0,+∞]sinx/xdx=π/2.

上面推导过程中省略了可在积分号下求导等理论问题。
参考资料：微积分学教程，菲赫金哥尔茨著，第二卷第三分册，484节。
该书455节还有另一种解法。
该积分的收敛性见同书的439节，452节。