UC知道初中数学竞赛4题（做的好有追加）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 07:24:42
2.a,b为两个不相等且都不为零的数.同时有a^2+pa+q=0,b^2+pb+q=0,求1/a+1/b的值
3.如果(z-x)^2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x+z=2y
4.化简 x^2-x-2+(x-1)(根号x^2-4)[根号里包括x^2-4]
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x^2+x-2+(x-1)(根号x^2-4）
要过程，要详细，不然看不明白。做的好的有追加。
分子分母同时乘x+2-√(x^2-4)得:
[(x+1)(x-2)+(x-1)*√(x^2-4)][x+2-√(x^2-4)] /(x-1)[x^2+4x+4-(x^2-4)]
=(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x^2-4)-[(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)]*√(x^2-4)
提公因式,整理得:
求式=x^2-4+x√(x^2-4)/(2x^2+2x-4)
怎么倒数第二步没有除号，提公因式之后又有除号呢？
解:(1)由“线段a,b,c组成了一个三角形”知:
a+b>c,a+c>b,b+c>a,a>0,b>0,c>0.
又(√a+√b)^2=a+b+2(√ab)>a+b>c (√代表根号)
∴ (√a+√b)^2>c=(√c)^2,两边开方,得:
√a+√b>√c
同理可证√b+√c>√a,√a+√c>√b
则根号a,根号b,根号c也能组成一个三角形.
(2)∵a^2+pa+q=0,b^2+pb+q=0
且a,b为两个不相等且都不为零的数.
则可把a,b看作方程x^2+px+q=0的两个根
由韦达定理知 a+b=-p ab=q
则1/a+1/b=(a+b)/ab
=-(p/q)
(3)由题,不妨设z-x=a,x-y=b,y-z=c,则a+b+c=0
∵(z-x)^2-4(x-y)(y-z)=0
则a^2-4bc=0又a=-b-c
代入得:(-b-c)^2-4bc=0
则b^2+c^2+2bc-4bc=0
(b-c)^2=0 则b=c,则x-y=y-z
即x+z=2y 得证.
(4)x^2-x-2+(x-1)*√(x^2-4) / x^2+x-2+(x-1)*√(x^2-4)
=x^2-x-2+(x-1)*√(x^2-4) / (x-1)[x+2+√(x^2-4)]
分子分母同时乘x+2-√(x^2-4)得:
[(x+1)(x-2)+(x-1)*√(x^2-4)][x+2-√(x^2-4)] /(x-1)[x^2+4x+4-(x^2-4)]
=(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x^2-4)-[(x+