f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx 求f(x)最大值 设0<a<b,0<g(a)+g(b)-2g((a+b)/2)<(b-a)ln2

1)先证明左边,即:g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]>0
思路:
容易发现,若b=a,g(a)+g(a)-2g(a)=0
现在的条件是b>a,而要证明上式>0,只需证明
h(x)=g(a)+g(x)-2g[(a+x)/2]是增函数
而判断函数的单调性可以通过求导来实现

证明过程:
构造函数h(x)=g(a)+g(x)-2g[(a+x)/2]
g(x)=xlnx
g'(x)=lnx+1
h'(x)=g'(x)+2g'[(a+x)/2]=lnx-ln[(a+x)/2]
我们知道lnx是增函数,当x>a,x>(a+x)/2,lnx>ln[(a+x)/2]
所以当x>a,h'(x)>0,h(x)是增函数
∵b>a>0
∴h(b)>h(a)=0
即:g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]>0

2)在来看右边g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]<(b-a)ln2
即:g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]-(b-a)ln2<0
同样可以发现若b=a,不等式左边式子为0
因此只要证明函数
H(x)=g(a)+g(x)-2g[(a+x)/2]-(x-a)ln2是减函数

证明过程:
构造函数H(x)=g(a)+g(x)-2g[(a+x)/2]-(x-a)ln2
H'(x)=lnx-ln[(a+x)/2]-ln2=lnx-ln(a+x)
∵a>0,x<a+x,lnx<ln(a+x)
H'(x)<0,H(x)是减函数
∴b>a>0
∴H(b)<H(a)=0
即:g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]-(b-a)ln2<0
g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]<(b-a)ln2

综上：
0<g(a)+g