求证(急)

解析几何的证:法设A<=B<=C,做出y=Sinx在[0,pi]之间图象构造三角形E(A,SinA) F(B,SinB) G(C,SinC) 则三角形重心G坐标为((A+B+C)/3,(SinA+SinB+SinC)/3),由于G在图象下方有(SinA+SinB+SinC)/3<=Sin((A+B+C)/3),SinA+SinB+SinC<=3根3/2 得证参考资料:"http://www.chunyun.net/cy_bbs/printpage.asp?BoardID=19&ID=2958"。(2)凸函数性质(f(x1)+...+f(xn))/n<=f((x1+..+xn)/n).令f(x)=sinx,f'(x)=cosx在[0,Pi]为减函数,f(x)为凸函数,f(A)+f(B)+f(C)<=3f((A+B+C)/3)=3根3/2。此题超值。

设A≤B≤C
设A=60°-α，B=60°-β，则C=60°+α+β，
显然0°≤α＜60°，0°≤α+β＜120°。
sinA+sinB+sinC
=sin(60°-α)+sin(60°-β)+sin(60°+α+β)
=2sin[60°-(α+β)/2]cos[(β-α)/2] +sin(60°+α+β)
由于cos[(β-α)/2] ≤1，当且仅当α=β时等号成立
所以 sinA+sinB+sinC
≤2sin(60°-α)+sin(60°+2α)
=√3cosα-sinα+ (√3/2) cos2α+(1/2)sin2α
=√3cosα+ (√3/2) cos2α+sinα(cosα-1)
由于 √3cosα≤√3,，(√3/2) cos2α≤√3/2，sinα(cosα-1)≤0
当且仅当α=0°时等号成立
所以 sinA+sinB+sinC≤√3