一些奥数开方2

(ay+bx)^2 = a^2y^2+b^2x^2+2abxy
因为 ax = by
所以 原式 = a^2y^2+b^2x^2+2a^2x^2

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2 --- @
因为 ax = by 所以 a^2x^2 = b^2y^2
所以 @式 = a^2y^2+b^2x^2+2a^2x^2 为所求

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = 1*2 = 2

所以 所求式为√2

设a=sinθ 则b=cosθ

设x=sqrt(2)sinφ，则y=sqrt(2)cosφ

有ax=by 可得 sinθsinφ=cosθcosφ

即 sinθsinφ-cosθcosφ=0 即cos(θ+φ)=0

ay+bx=sqrt(2)(sinθcosφ+cosθsinφ)=sqrt(2)sin(θ+φ)

因为cos(θ+φ)=0 则有sin(θ+φ)=1

所以ay+bx=sqrt(2);

由a^2 + b^2 =1 、x^2 + y^2 = 2 ,令a=cosθ,b=sinθ
x=√2cosφ,y=√2sinφ(0<θ、φ<π/2)
由ax = by ,得cosθ√2cosφ=sinθ√2sinφ
整理得,cosθcosφ=sinθsinφ,两边同时除以cosθcosφ,得
tanθtanφ=1,意思θ+φ=π/2
ay + bx =cosθ√2sinφ+sinθ√2cosθ=√2sin(θ+φ)
=√2sinπ/2=√2