一道高一数学题～求解～

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 04:37:12
定义在非零实数集上的奇函数f(x)在(-∞,0)上是减函数，且f(-3)=0,若g(x)=√2acos(x+π/4)+1-a(a∈R),x∈[3π/2,2π],是否存在实数a，使得f[g(x)]>0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。（麻烦过程写完整点）

首先是奇函数，在小于0的时候单调减，在大于0的时候也是单调减
f(-3)=0,说明x小于-3的时候f(x)大于0，另外x在0和3之间的时候也是大于0
首先在a=0的时候，g(x)=1,满足题意

cos(x+π/4)在x∈[3π/2,2π]时，取值范围是[√2/2,1]

那么在a>0的时候，√2acos(x+π/4)的最大值就是√2a，最小值是a
那么g(x)最小值是1，最大值是1+(√2-1)a
这里要求最大值小于3，因此1+(√2-1)a<3,a<2(√2+1)

a<0时，√2acos(x+π/4)的最小值是√2a，最大值是a
g(x)最大值是1，最小值是1+(√2-1)a
这时候要求最小值大于0，因此1+(√2-1)a>0,a>-(√2+1)

最后综上所述，-(√2+1)<a<2(√2+1)