f(x)是定义于R上的函数，满足两个条件f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)。。。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 07:54:22
f(x)是定义于R上的函数，满足两个条件：
（1）f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)
（2）f(x)在[0，1]上单调递增；
问：
（1）f(1)=1;
（2）f(x)的奇偶性
（3）f(2x-1)≥1/2的解集
主要证第三问，前俩问的解参见http://bbs.pku.edu.cn/bbs/bbstcon.php?page=0&board=Mathematics&threadid=3956&num=0
谢谢！

f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y) ,
设x=y=1/3,
f(1/3+1/3)=f(1/3)f(1-1/3)+f(1-1/3)f(1/3) ,
f(2/3)=f(1/3)f(2/3)+f(2/3)f(1/3) ,
f(2/3)=2f(1/3)f(2/3) ,
1/2=f(1/3)
[0，1]上单调递增,
f(1/3)=1/2,
f(2x-1)≥1/2=f(1/3),
设y=1, f(1+x)=f(1-x), [关于x=1对称,f(1/3)=f(5/3),]
即f(x)=f(2-x),是奇函数 ,
-f(x)=f(-x)=f(2+x),
f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x)=f(x),
周期为4,
(0,2),f(x)>0;(2,4),f(x)<0,
(0,2),f(x)>1/2,1/3<x<5/3;x∈R,4k+1/3<x<4k+5/3.
f(2x-1)≥1/2,4k+1/3<2x-1<4k+5/3,k∈Z.

1/3 太巧了
mgtjqm 太强了