已知定义在R上的函数f(x)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 15:23:43
已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件
a1=a，an=f(a(n-1))(n≥2,n∈N+)，a1≠a2
f(an)-f(a(n-1))=k(an-a(n-1))(n≥2,n∈N+)
其中a为常数，k为非零常数
（1）令bn=a(n+1)-an(n∈N+)，证明数列{bn}是等比数列
（2）求数列{bn}的通项公式

an=f(a(n-1))
所以a(n+1)=f(an)
f(an)-f(a(n-1))=k(an-a(n-1))
a(n+1)-an=k(an-a(n-1))
bn=a(n+1)-an
则b(n-1)=an-a(n-1)
bn/b(n-1)=k
所以数列{bn}是等比数列

a(n+1)-an=k(an-a(n-1))
an-a(n-1)=k(a(n-1)-a(n-2))
……
a3-a2=k(a2-a1)
一共有n+1-3+1=n-1个式子
全乘起来
两边可以约掉
a(n+1)-an=k^(n-1)(a2-a1)
即bn=k^(n-1)b1
a2=f(a1)
所以b1=a2-a1=f(a1)-a1=f(a)-a
bn=[f(a)-a]*k^(n-1)

解：(1)因为an=f(a(n-1))(n≥2,n∈N+)，
所以f(an)-f(a(n-1))=a(n+1)-an=k(an-a(n-1))
所以{bn=a(n+1)-an}是以k为公比的等比数列

(2) a2=f(a1)=f(a) ,
所以b1=a2-a1=f(a)-a ,
所以bn=[f(a)-a]*k^n-1.