已知定义在R上的函数f(x),对于任意x,y属于R.有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)不等于0.

以x=y=0代入，得：
f(0)＋f(0)=2[f(0)]²
f(0)=[f(0)]²
因为f(0)不等于0，则：f(0)=1
以x=0代入，得：
f(y)＋f(－y)=2f(0)f(y)
f(y)＋f(－y)=2f(y)
f(y)=f(－y)
即：函数f(x)是偶函数。

限定在连续函数的范围内，满足条件的函数是余弦函数或双曲余弦函数：f(x)=cos(ax)或f(x)=ch(ax).
证明是相当困难的。