初三数学....

连接BM,AN
因为AB是直径，
所以∠AMB=∠ANB=90°
由相交弦定理,得
AP*PM=BP*PN,
所以AP*AM+BP*BN
=AP*(AP+PM)+BP*(BP+PN)
=AP^2+AP*PM+BP*PN+BP^2
=AP^2+2AP*PM+PM^2+(BP^2-PM^2)
=AM^2+BM^2
=AB^2
=36.

做 PC垂直于 AB, C为垂足，且C在AB上。

所以∠ACP=90°
因为AB为半径 所以 ∠AMB=90°

所以△ACP∽△AMB ----(2个角相等所以相似)

所以 AC/AM = AP/AB
即 AM*AP = AB*AC -----------------（1）

同理可得 △BCP∽△BNA
BP/BA = BC/BN
BN*BP = BA*BC -------------------（2）
那么根据 (1)和(2)有：
AM*AP + BN*BP =AB*AC +AB*BC =AB*(AC+CB)=AB*AB=36

做 PC垂直于AB, C为垂足且C在AB上。

∠PAC=∠BAM,∠ACP=∠AMB=90°
所以△ACP∽△AMB,AC/AM = AP/AB
AM*AP=AB*AC

同理可得 △BCP∽△BNA,BP/BA = BC/BN
BN*BP=BA*BC

AM*AP+BN*BP=AB*AC+AB*BC=AB*(AC+CB)=AB*AB=6*6=36

连接BM,
因为AB是直径，
所以角AMB是直角,
由相交弦定理得
AP*PM=BP*PN,
所以AP*AM+BP*BN
=AP*(AP+PM)+BP*(BP+PN)
=AP^2+AP*PM+BP*PN+BP^2
=AP^2+2AP*PM+P