已知x是正数,且x≠1,n属于正整数,求证 (1+x^n)(1+x)^n>2^(n+1)·(x^n)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 23:39:12
用文字说是:(1+x的n次)×[(1+x)的n次]大于(2的n+1次)×(x的n次) 谢谢了
已知x是正数,且x≠1,n属于正整数,求证 (1+x^n)(1+x)^n>2^(n+1)·(x^n)
请详细些谢谢了

证：(1 +x^n)(1+x)^n >2^(n+1)(x^n)
(1 +x^n)[(1+x)/x]^n >2^(n+1)
(1 +x^n)(1 +1/x)^n >2^(n+1)
由均值不等式a+b>=2*√(ab)
又x≠1,n属于正整数
所以 (1 +x^n)(1 +1/x)^n >2√(x^n) *[2√(1/x)]^n =2√(x^n) *2^n *√[(1/x)^n] =2^(n+1)
逆推即可证...

证：(1 +x^n)(1+x)^n >2^(n+1)(x^n)
(1 +x^n)[(1+x)/x]^n >2^(n+1)
(1 +x^n)(1 +1/x)^n >2^(n+1)
由均值不等式a+b>=2*√(ab)
又x≠1,n属于正整数
所以 (1 +x^n)(1 +1/x)^n >2√(x^n) *[2√(1/x)]^n =2√(x^n) *2^n *√[(1/x)^n] =2^(n+1)

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