一道圆锥曲线的题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 06:36:15
抛物线的顶点在原点O,焦点在X轴上，∆AOB内接于抛物线，如果∆AOB的垂心恰好与焦点重合，且其面积等于20√5，则此抛物线的方程是( )
高中二年级的题，我做起来非常麻烦，希望广大数学高手、爱好者帮我找到一种简单的做法，最好有详细过程。谢谢。

设抛物线y^2=2px(p>0) 焦点F(p/2,0)
如果∆AOB的垂心恰好与焦点重合,则AB垂直于对称轴,设A(a,根号2ap) B(a,-根号2ap) (a>0)
1.OA向量垂直BF向量 得(a,根号2ap)*(p/2-a,根号2ap)=0
2.面积等于20√5 得1/2*a*2根号2ap=20√5
解方程组,得p=2√2,所以y^2=(4√2)x

同理,还有y^2=-(4√2)x