对数函数lg（ax）*lg（ax^2）=4有两个小于1的正根pq且满足|lgp-lgq|小于等于2『3求实数a的取值范围

首先,要使[lg(ax)]lg[a(x^2)]=4有意义,必须有
ax>0,a(x^2)>0
即a>0,x>0
由于[lg(ax)]lg[a(x^2)]=lg(ax)[2lg(ax)-lga]
=2[lg(ax)]^2-lg(ax)lga=4
因为2[lg(ax)]^2-lg(ax)lga-4=0有两个小于1的正根p、q,且lgp、lgq有意义，
所以0<p<1,0<q<1.
将p、q分别代入2[lg(ax)]^2-lg(ax)lga=4中，有
2[lg(ap)]^2-lg(ap)lga=4 ①
2[lg(aq)]^2-lg(aq)lga=4 ②
①-②得到 2{[lg(ap)]^2-[lg(aq)]^2}+lg(aq)lga-lg(ap)lga=0
2[lg(pqa^2)][lg(p/q)]=[lg(p/q)]lga ③
当lg(p/q)=0时,即p=q,|lgp-lgq|=0<2√3恒成立,所以a>0
当lg(p/q)≠0时,
③可变化为2[lg(pqa^2)]=lga
lg[(pqa^2)^2]-lga=0
[(pqa^2)]^2=a
pq=a^(-3/2)
lg(pq)=(-3/2)lga ④
又|lgp-lgq|=|lg(p/q)|≤2√3,
故-2√3≤lg(p/q)≤2√3
于是-2√3≤lg(pq)-2lgq≤2√3
-2√3+2lgq≤lg(pq)≤2√3+2lgq
由于0<q<1,所以lgq<0
0<a<1时,lga<0,lg(pq)>0,则0<lg(pq)≤2√3+2lgq<2√3
所以0<(-3/2)lga<2√3
-4/(√3)<lga<0
10^[-4/(√3)]<a<1

a>1时,lga>0,lg(pq)<0,则-2√3+2lgq≤(-3/2)lga&