UC知道一道数论题.
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 19:37:53
n 是正整数, 我们让 f(n) 为 n的所有正除数的和
例如: f(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
如果 f(n) = 2n, 那么正整数 n 就是完美的数字
(a) 表示出 496 是一个完美的数字
(b) 如果 n = (2^m)*q , m是正整数, q是质数, 请表示出
f(n) = (2^(m+1) -1)(q+1)
(c)证明: 如果 2^p - 1 是一个质数, p是正整数.
那么 n = [2^(p-1)]*[(2^p)-1] 是一个完美的数字.
例如: f(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
如果 f(n) = 2n, 那么正整数 n 就是完美的数字
(a) 表示出 496 是一个完美的数字
(b) 如果 n = (2^m)*q , m是正整数, q是质数, 请表示出
f(n) = (2^(m+1) -1)(q+1)
(c)证明: 如果 2^p - 1 是一个质数, p是正整数.
那么 n = [2^(p-1)]*[(2^p)-1] 是一个完美的数字.
a.
496所有因子为
1 2 4 8 16 31 62 124 248 496
和为992=2*496
所以是完美数
b.
(2^m)*q 的所有正因子为
1，2，2^2,2^3,...,2^m,q,q*2,q*2^2,....,q*2^m,
全部相加即为
(1+2+2^2+2^3+...+2^m)+(q+q*2+q*2^2+...+q*2^m)
=(2^(m+1) -1)(q+1)
c.由上题结论
f(n) = (2^p -1)*2^p 恰好为n = [2^(p-1)]*[(2^p)-1]的2倍
所以是完美数
f(n)=(2^0+2^1+....+2^m)*q
=(2^(m+1) -1)(q+1)
等比数列求和公式一用就出来了。
最后的证明只要带入b中的公式就出来了。